Question

已知f（x）=2^x-

1

2|x|

①若f（x）=

3

2

，求x；
②若2^tf（2t）+mf（t）≥0對t∈[1，2]恒成立，求m的范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）f（x）=

3

2

即2^x-

1

2x

=

3

2

，先解2^x，再解x值，注意2^x＞0；
（2）不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，通過整理變形轉化為4^t+1+m≥0恒成立，分離參數m后轉化為求函數最值問題解決；

解答： 解：（1）f（x）=2即2^x-

1

2x

=

3

2

，得2×4^x-3×2^x-1=0，∴2^x=-

1

2

或2^x=2，
又∵2^x＞0，∴2^x=2，
∴x=1．
（2）∵2^t（2^2t-

1

22t

）+m（2^t-

1

2t

）≥0，
∴2^t（2^t-

1

2t

）（2^t+

1

2t

）+m（2^t-

1

2t

）≥0，∵t∈[1，2]，∴2^t＞

1

2t

，
∴4^t+1+m≥0恒成立，即m≥-（4^t+1）恒成立，問題等價于m大于等于-（4^t+1）的最大值-5，
∴m≥-5，
因此m的取值范圍為[-5，+∞）．

點評：本題考查函數恒成立問題及指數方程的求解，考查學生的分析問題解決問題的能力，恒成立問題往往轉化為求函數最值問題解決，或分離參數后再求函數最值．