Question

已知（x+m）²ⁿ⁺¹與（mx+1）²ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展開式中含xⁿ項的系數相等，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出（x+m）²ⁿ⁺¹與（mx+1）²ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展開式中含xⁿ項的系數，根據已知條件得到關于m，n的方程；分離出m看成關于n的函數，通過函數的單調性，求出m的范圍．

解答：解：設（x+m）²ⁿ⁺¹的展開式為T_r+1，
則T_r+1=C_2n+1^rx^2n+1-rm^r，
令2n+1-r=n
得r=n+1，
所以xⁿ的系數為C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹．
由C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹=C_2nⁿmⁿ，
得m=

n+1

2n+1

是關于n的減函數，
∵n∈N⁺，
∴

1

2

＜m≤

2

3

所以的取值范圍是

1

2

＜m≤

2

3

點評：本題考查通過二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，是一道基礎題．