Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=

3

，AA₁=3，M為側(cè)棱CC₁上一點，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面ABM與平面AB₁C₁所夾銳角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，可以C為原點，CA，CB，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，給出各點的坐標，由于已知AM⊥BA₁．故可由向量的數(shù)量積為0證明AM⊥BC，再由線面垂直的判定定理證明AM⊥平面A₁BC；
（II）求平面ABM與平面AB₁C₁所夾銳角的余弦值，可先求出兩個平面的法向量，再由公式cosθ=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|即可求得所要的結果

解答：證明：（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA，CB，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A（

3

，0，0），B（0，1，0），A₁（

3

，0，3），
B₁（0，1，3），C₁（0，0，3），

CB

=（0，1，0），（1分）
設M（0，0，t），則

AM

=（

3

，0，t），∴

AM

•

CB

=0
即AM⊥BC，又因為AM⊥BA₁，
所以 AM⊥平面A₁BC  （3分）
解：（Ⅱ）

BA1

=（

3

，-1，3），因為AM⊥BA₁，所以

AM

•

BA1

=-3+3t=0，得t=1，
即M（0，0，1），，可得平面ABM的一個法向量為

n1

=（1，

3

，

3

）  （3分）
又

AB1

=（-

3

，1，3），

AC1

=（-

3

，0，3），，設平面AB₁C₁的一個法向量為

n2

=（X，Y，Z），
則

n2

•

AB1

=0且

n2

•

AC1

=0，得Y=0，x=

3

z，，令z=1，得平面平面AB₁C₁的一個法向量為

n2

=（

3

，0，1），（3分）
設平面ABM與平面AB₁C₁所夾銳角為θ，
則cosθ=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

2 3

2× 7

=

21

7

  （2分）

點評：本題考查由向量方法證明線面垂直，求兩平面的夾角，解題的關鍵是熟練掌握向量法解決幾何問題的方法，本題的難點是正確建系，理解兩向量的夾角與兩平面夾角的對應關系．