Question

已知數列{a_n}滿足對任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設數列{

1

anan+2

}的前n項和為S_n，不等式Sn＞

1

3

loga(1-a)對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知a₁=1．當n=2時，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，由此可知a₂=2．
（2）由題意知，a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．同樣有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），由此得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．所以a_n+1-a_n=1．所以數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
（3）由（2）知a_n=n，則

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．再用裂項求和法能夠推導出實數a的取值范圍．

解答：（1）解：當n=1時，有a₁³=a₁²，
由于a_n＞0，所以a₁=1．
當n=2時，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，
將a₁=1代入上式，由于a_n＞0，所以a₂=2．
（2）解：由于a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
則有a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，
由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1．③
同樣有a_n²=2（a₁+a₂+…+a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即當n≥1時都有a_n+1-a_n=1，所以數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
故a_n=n．
（3）解：由（2）知a_n=n，則

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
所以Sn=

1

a1a3

+

1

a2a4

+

1

a3a5

++

1

an-1an+1

+

1

anan+2

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)++

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．
∵Sn+1-Sn=

1

(n+1)(n+3)

＞0，
∴數列{S_n}單調遞增．
所以(Sn)min=S1=

1

3

．
要使不等式Sn＞

1

3

loga(1-a)對任意正整數n恒成立，只要

1

3

＞

1

3

loga(1-a)．
∵1-a＞0，∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即0＜a＜

1

2

．
所以，實數a的取值范圍是(0，

1

2

)．

點評：本題主要考查數列通項、求和與不等式等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創新意識