Question

已知函數f（x）=x²+ax+3-a，其中x∈[-2，2]．
（1）當a=1時，求它的單調區間；
（2）當a∈R時，討論它的單調性；
（3）若f（x）≥12-4a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=1時寫出f（x）表達式，根據其圖象可得單調區間；
（2）f（x）的對稱軸方程為x=-

a

2

，分-

a

2

≤-2，-

a

2

≥2，-4＜a＜4三種情況討論：結合圖象可得函數單調區間；
（3）根據不等式分離出參數a后轉化為求函數的最值即可；

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x²+x+2，對稱軸方程為x=-

1

2

，
則f（x）的單調減區間為[-2，-

1

2

]；
單調減區間為[-

1

2

，2]；
（2）f（x）=x²+ax+3-a，對稱軸方程為x=-

a

2

，
下面分三種情況討論：
當-

a

2

≤-2時得a≥4，f（x）的單調增區間為[-2，2]；
當-

a

2

≥2時得a≤-4，f（x）的單調減區間為[-2，2]；
當-4＜a＜4時，f（x）的單調減區間為[-2，-

a

2

]，單調增區間為[-

a

2

，2]．
（3）當x∈[-2，2]時，有f（x）≥12-4a恒成立，
等價于a≥3-x，只要a≥（3-x）_max，
而x∈[-2，2]，所以a≥5．

點評：本題考查二次函數的性質、函數恒成立問題，考查數形結合思想、轉化思想，屬中檔題．