Question

（2012•鹽城三模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知向量

m

=(b，a-2c)，

n

=(cosA-2cosC，cosB)，且

m

⊥

n

．
（1）求

sinC

sinA

的值；
（2）若a=2，|m|=3

5

，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）由

m

⊥

n

可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
法一：根據正弦定理可得，sinBcosA-2sinBcosC+sinAcosB-2sinCcosB
法二：根據余弦定理可得，b×

b2+c2-a2

2bc

+a×

a2+c2-b2

2ac

-2b×

a2+b2-c2

2ab

-2c×

a2+c2-b2

2ac

=0
化簡可得

c

a

，然后根據正弦定理可求

sinC

sinA

=

c

a

（2）由（1）c=2a可求c，由|

m

|可求b，結合余弦定理可求cosA，利用同角平方關系可求sinA，代入三角形的面積公式S=

1

2

bcsinA可求

解答：解：（1）法一：由

m

⊥

n

可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
根據正弦定理可得，sinBcosA-2sinBcosC+sinAcosB-2sinCcosB=0
∴（sinBcosA-sinAcosB）-2（sinBcosC+sinCcosB）=0
∴sin（A+B）-2sin（B+C）=0
∵A+B+C=π
∴sinC-2sinA=0
∴

sinC

sinA

=2
（法二）：由

m

⊥

n

可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
根據余弦定理可得，b×

b2+c2-a2

2bc

+a×

a2+c2-b2

2ac

-2b×

a2+b2-c2

2ab

-2c×

a2+c2-b2

2ac

=0
整理可得，c-2a=0
∴

sinC

sinA

=

c

a

=2
（2）∵a=2，|m|=3

5

由（1）可知c=2a=4

b2+(a-2c)2

=3

5

∴b=3
∴cosA=

32+42-22

2×3×4

=

7

8

，sinA=

1-( 7 8 )2

=

15

8

∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×4×

15

8

=

3 15

4

點評：本題以向量的坐標運算為載體主要考查了正弦定理及余弦定理在三角形求解中的應用，屬于三角知識的綜合應用