Question

已知函數f（x）=4^x-a•2^x+1-a²的定義域為[1，2]，試求函數f（x）的最大值，記為g（a），求g（a）表達式，并求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：利用換元法，轉化為二次函數，利用配方法，確定函數f（x）的最大值，再確定g（a）的最大值．

解答：解：函數f（x）=4^x-a2^x+1-a²=（2^x）²-2a••2^x-a²（1≤x≤2）…2分
令t=2^x，則2≤t≤4，原函數可化為y=t²-2at-a²=（t-a）²-2a²（2≤t≤4）
①當a＜3時：t=2^x=4，即x=2時，f(x)max=f(2)=-a2-8a+16…4分
②當a≥3時：t=2^x=2，即x=1時，f(x)max=f(1)=-a2-4a+4…6分
∴g(a)=

-a2-8a+16，a＜3 -a2-4a+4，a≥3

…8分
當a＜3時：g（a）=-a²-8a+16，此時g（a）_max=g（-4）=32
當a≥3時：g（a）=-a²-4a+4，此時g（a）_max=g（3）=-17
綜上可知，g（a）_max=32…12分

點評：本題考查復合函數的單調性，考查函數的最值，考查換元法的運用，屬于中檔題．