Question

若直角坐標平面內A、B兩點滿足條件：①點A、B都在f（x）的圖象上；②點A、B關于原點對稱，則對稱點對（A，B）是函數的一個“姊妹點對”（點對（A，B）與（B，A）可看作同一個“姊妹點對”）．已知函數 f（x）=

x2+2x  x＜0 2 ex     x≥0

，則f（x）的“姊妹點對”有（　　）個．

Answer 1

分析：首先弄清關于原點對稱的點的特點，進而把問題轉化為求方程

2

e-x

=-(x2+2x)的根的個數，再轉化為求函數φ（x）=2e^x+x²+2x零點的個數即可．

解答：解：設P（x，y） （x＜0），則點P關于原點的對稱點為P^′（-x，-y），
于是

2

e-x

=-(x2+2x)，化為2e^x+x²+2x=0，
令φ（x）=2e^x+x²+2x，下面證明方程φ（x）=0有兩解．
由x²+2x≤0，解得-2≤x≤0，而

2

ex

＞0（x≥0），∴只要考慮x∈[-2，0]即可．
求導φ^′（x）=2e^x+2x+2，
令g（x）=2e^x+2x+2，則g^′（x）=2e^x+2＞0，
∴φ^′（x）在區間[-2，0]上單調遞增，
而φ^′（-2）=2e^-2-4+2＜0，φ^′（-1）=2e^-1＞0，
∴φ（x）在區間（-2，0）上只存在一個極值點x₀．
而φ（-2）=2e^-2＞0，φ（-1）=2e^-1-1＜0，φ（0）=2＞0，
∴函數φ（x）在區間（-2，-1），（-1，0）分別各有一個零點．
也就是說f（x）的“姊妹點對”有兩個．
故選B．

點評：本題考查了函數的零點，善于轉化及熟練利用導數判斷方程的根的個數是解決問題的關鍵．