Question

已知正項數列，其前n項和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6，且a₁，a₃，a₁₅成等比數列，求數列的通項a_n.

Answer 1

解：∵10S_n=a_n²+5a_n+6，  ①   

∴10a₁=a₁²+5a₁+6，  解之得a₁=2或a₁=3.

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，  ②

由①－②得   

10a_n=(a_n²-a _n－1²)+5(a_n－a_n－1)， 

即（a_n+a_n－1）(a_n－a_n－1－5)=0.

∵a_n+a_n－1＞0_，      

∴a_n－a_n－1=5(n≥2)_.

當a₁₌3時，a₂=13_，a_n=73，a₁，a₂，a_n不成等比數列，a₁≠3_.

當a₁=2時，a₂＝12_，a_n=72，有a₃²=a₁a₂，

∴a₁=2，∴a_n=5n－3