Question

已知函數f（x）=x²-x+alnx
（1）當x≥1時，f（x）≤x²恒成立，求a的取值范圍；
（2）討論f（x）在定義域上的單調性．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用參數分離法將a分離出來，然后研究函數的最值，使參數a恒小于函數的最小值即可；
（2）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，主要進行分離討論．
解答：解：（1）由f（x）≤x²恒成立，得：alnx≤x在x≥1時恒成立
當x=1時a∈R（2分）
當x＞1時即，令，（4分）
x≥e時g'（x）≥0，g（x）在x＞e時為增函數，g（x）在x＜e時為減函數
∴g_min（x）=e∴a≤e（6分）
（2）解：f（x）=x²-x+alnx，f′（x）=2x-1+=，x＞0
（1）當△=1-8a≤0，a≥時，f′（x）≥0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上為增函數．（8分）
（2）當a＜時
①當0＜a＜時，，
f（x）在上為減函數，
f（x）在上為增函數．（11分）
②當a=0時，f（x）在（0，1]上為減函數，f（x）在[1，+∞）上為增函數（12分）
③當a＜0時，，故f（x）在（0，]上為減函數，
f（x）在[，+∞）上為增函數．（14分）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數求閉區間上函數的最值，屬于中檔題．