Question

如圖，已知兩個正四棱錐P—ABCD與Q—ABCD的高分別為1和2，AB=4.

(1)證明PQ⊥平面ABCD;

(2)求異面直線AQ與PB所成的角;

(3)求點P到平面QAD的距離.

Answer 1

（1）證明：連結AC、BD，設AC∩BD=O.?

因為P—ABCD與Q—ABCD都是正四棱錐，?

所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD?

從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.

(2)解：由題設知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

由（1）,PQ⊥平面ABCD,故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如下圖），由題設條件，相關各點的坐標分別是P（0，0，1），A（2，0，0），Q（0，0，-2），B（0，2，0）.?

所以=（-2，0，-2），=（0，2，-1），?

于是cos〈,〉==.?

從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos.

（3）解：由（2）,點D的坐標是（0，-2，0），?

=（-2，-2，0），=（0，0，-3）.

設n=(x,y,z)是平面QAD的一個法向量，由?

得

取x=1,得n=(1,-1,- ).?

所以點P到平面QAD的距離?

d==.