Question

已知函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數．
（1）求實數k的值．
（2）若f（1）＞0，試求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）由奇函數性質得f（0）=0，求出k值再驗證即可；
（2）由f（1）＞0可得a＞1，從而可判函數f（x）的單調性，由函數的奇偶性、單調性可把不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0進行等價變形，去掉符號“f”，即可求解．

解答：解：（1）∵f（x）是定義域為R的奇函數，∴f（0）=0，∴k-1=0，∴k=1，經檢驗k=1符合題意．
所以實數k的值為1．
（2）∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．
此時易知f（x）在R上單調遞增．  
則原不等式化為f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，解得x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集為{x|x＞1或x＜-4}．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的應用，考查學生靈活運用知識解決問題的能力．