Question

（2010•眉山一模）已知A、B、C為三個銳角，且A+B+C=π，若向量

p

=(2sinA-2，cosA+sinA)與向量

q

=(cosA-sinA，1+sinA)是共線向量．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函數y=2sin2B+cos

C-3B

2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知

p

 與

q

共線，利用向量共線的條件及A為銳角整理可得，sinA=

3

2

，從而可求角A的值．
（2）結合（1）中的條件可把所求函數式化簡得，y=sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

+1，利用輔助角公式可得y=
sin2B-

π

6

）+1，結合題中銳角三角形的條件可求B的范圍，進而求出函數的值域，從而得到函數的最大值．

解答：解：（1）∵

p

=(2-2sinA，cosA+sinA)  ，

q

=（sinA-cosA，1+sinA），且

m

與

n

共線，
可得（2-2sinA）（1+sinA）-（sinA-cosA）（cosA+sinA）=0，化簡可得sinA=±

3

2

．
又△ABC是銳角三角形，∴sinA=

3

2

即A=

π

3

．
（2）由A=

π

3

得B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
y=2sin²B+cos

C-3B

2

=2sin2B+cos(

π

3

-2B)=1-cos2B+cos

π

3

cos2B+sin

π

3

sin2B
=1+sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

=sin(2B-

π

6

)+1，
∵

π

2

-A＜B＜

π

2

，∴

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

3

＜2B＜π，∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1．故

3

2

 ＜sin(2B-

π

6

)+1≤2．
因此函數y=2sin²B+cos

C-2B

2

的值域為（

3

2

，2]，故函數y的最大值等于2．

點評：本題主要考查了向量平行的坐標表示，特殊角的三角函數值，兩角和差的三角角公式的運用，正弦函數的值域的求解等知識，綜合的知識較多，但都是基本方法的考查，要求考生具備扎實的基本功，熟練運用知識．