Question

（2006•朝陽區二模）已知函數f（x）=x³-

3

2

mx2+n，1＜m＜2．
（Ⅰ）若f（x）在區間[-1，1]上的最大值為1，最小值為-2，求m、n的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=3x²-3mx=3x（x-m），根據導數f′（x）在[-1，1]上的符號情況可判斷單調性，由單調性可知其最大值、最小值，根據條件可得方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-2x²+1，易知點P（2，1）在曲線f（x）上．分P為切點及P不為切點時兩種情況進行討論，當P為切點時，利用斜率k=f′（2），由點斜式可求切線方程；當P不為切點時，設切點為Q（x₀，y₀）（x₀≠2），利用點斜式表示出切線方程，代入P點坐標可求得x₀，從而可得切線方程；

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²-3mx=3x（x-m），
∴由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=m．
又1＜m＜2，x∈[-1，1]，
∴當x∈[-1，0）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當x∈（0，1]時，f'（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區間[-1，1]上的最大值為f（0）=n，∴n=1．
又f(1)=1-

3

2

m+1=2-

3

2

m，f(-1)=-1-

3

2

m+1=-

3

2

m，∴f（-1）＜f（1）．
由題意得f（-1）=-2，即-

3

2

m=-2，解得m=

4

3

．
故m=

4

3

，n=1為所求． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-2x²+1，易知點P（2，1）在曲線f（x）上．
又f'（x）=3x²-4x，
∴當切點為P（2，1）時，切線l的斜率k=f'（2）=4，
∴l的方程為y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
當切點P不是切點時，設切點為Q（x₀，y₀）（x₀≠2），切線l的斜率k=f′(x)|x=x0=3

x

2 0

-4x0，
∴l的方程為 y-y0=(3

x

2 0

-4x0)(x-x0)．
又點P（2，1）在l上，∴1-y0=(3

x

2 0

-4x0)(2-x0)，
∴1-(

x

3 0

-2

x

2 0

+1)=(3

x

2 0

-4x0)(2-x0)，∴

x

2 0

(2-x0)=(3

x

2 0

-4x0)(2-x0)，
∴

x

2 0

=3

x

2 0

-4x0，即2x₀（x₀-2）=0，解得x₀=0．
∴切線l的方程為y=1．    
故所求切線l的方程為4x-y-7=0或y=1．

點評：本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性最值，考查學生分析問題解決問題的能力．