Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數(shù)n總有S_n=p（a_n-1）（p為常數(shù)，且p≠0，p≠1），數(shù)列{b_n}滿足b_n=2n+q（q為常數(shù)）
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式（用p表示）；
（II）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先把n=1直接代入求出數(shù)列{a_n}的首項a₁，再利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）找到遞推關(guān)系式整理即可求通項公式；
 （II）利用a₁=b₁，a₂＜b₂，可得p的不等式，從而可求p的取值范圍

解答：解：（I）由題a₁=s₁=p（a₁-1）⇒a1=

p

p-1

（p≠0，p≠1），
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=p（a_n-a_n-1）⇒（p-1）a_n=pa_n-1，
即

an

an-1

=

p

p-1

（常數(shù)）．
所以{a_n}是以

p

p-1

為首項，

p

p-1

為公比的等比數(shù)列，
所以 an=

p

p-1

• (

p

p-1

) n-1= (

p

p-1

)n  
 （II）

a1=b1 a2＜b2

⇒

p p-1 =2+q ( p p-1 )2＜4+q

，消去q，并整理得，(

p

p-1

)2-

p

p-1

-2＜0
∴-1＜

p

p-1

＜2，∴p＜

1

2

或p＞2
∵p≠0，∴p的取值范圍為(-∞，0)∪(0，

1

2

)∪(2，+∞)

點評：本題是對數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列與函數(shù)綜合的考查．關(guān)鍵是列出兩式，再相減．