Question

設函數f（x）=lg（-mx²+mx+1）的定義域為R，則實數m的取值范圍是

（-4，0]

．

Answer 1

分析：函數y=lg（-mx²+mx+1）的定義域為R，說明對任意實數x，-mx²+mx+1＞0恒成立，然后分m=0和m≠0討論，m=0時，對數型函數的真數恒大于0，m≠0時，需要二次三項式對應的函數開口向上，且判別式小于0，最后把m=0和m≠0時求得的范圍取并集．

解答：解：函數y=lg（-mx²+mx+1）的定義域為R，
說明對任意實數x，-mx²+mx+1＞0恒成立，
當m=0時，-mx²+mx+1＞0化為1＞0恒成立，
當m≠0時，要使對任意實數x，-mx²+mx+1＞0恒成立，
則

-m＞0 m2-4×(-m)＜0

，
解②得：-4＜m＜0．∴不等式組的解集為（-4，0）．
綜上，函數y=lg（-mx²+mx+1）的定義域為R的實數m的取值范圍是（-4，0]．
故答案為：（-4，0]．

點評：此題表面上是考查對數函數的定義域，實際考查的是函數的恒成立的問題，是一道比較基礎的題．