Question

某企業自2013年1月1日起正式投產，環保監督部門從該企業投產之日起對它向某湖區排放的污水進行了三個月的監測．監測的數據如下表，并預測，如果不加以治理，該企業每月向湖區排放的污水量將成等比數列．

月份	1月	2月	3月
該企業向湖區排放的污水量（單位：萬立方米）	1	2	4

（1）如果不加以治理，求從2013年1月起，m個月后，該企業總計向湖區排放了多少萬立方米的污水；
（2）為保護環境，當地政府和企業從7月份開始投資安裝污水處理設備，預計7月份的污水排放量比6月份減少4萬立方米，以后每月的污水排放量均比上月減少4萬立方米，請問到哪年哪月：
①企業的污水排放量為零；
②當企業的污水排放量為零后，再以每月25萬立方米的速度處理湖區中的污水，可以使湖區中的污水不多于50萬立方米．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的前n項和公式即可得出；
（2）①設治理后每月污水扥排放量構成的數列為{b_n}，由已知它構成等差數列，其中，b₁=a₆-4，利用等差數列的通項公式解出b_n=0時的n即可得出．
②當企業的污水排放量為零時，湖中共有污水為a₁+a₂+…+a₆+b₁+b₂+…+b₈利用等比數列和等差數列的前n項和公式即可得出；
則治理t個月后175-25t≤50，解出即可．

解答：解：（1）∵每月污水排放量構成等比數列{a_n}，且a₁=1，q=2．
∴S_m=

a1(qm-1)

q-1

=

1×(2m-1)

2-1

=2^m-1．
（2）①設治理后每月污水扥排放量構成的數列為{b_n}，由已知它構成等差數列
其中，b₁=a₆-4=2⁵-4=28．
則b_n=b₁+（n-1）d=28+（n-1）（-4）=-4n+32．
當b_n=0時，n=8故到2014年2月排放量為0．
②當企業的污水排放量為零時，湖中共有污水為a₁+a₂+…+a₆+b₁+b₂+…+b₈=

26-1

2-1

+

(28+0)×8

2

=175．
則治理t個月后175-25t≤50，t≥5．
到2014年6月時湖中的污水不多于50萬立方米．

點評：本題綜合考查了等差數列和等比數列的通項公式及其前n項和公式、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．