Question

如圖所示，在△ABC中，

CA

⊥

CB

，

OA

=(0，-2)，M在y軸上，且

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，C在x軸上移動．
（Ⅰ）求點B的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點F(0，-

1

4

)的直線l交軌跡E于H，G兩點（H在F，G之間），若

FH

=

1

2

HG

，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設B（x，y），C（a，0），M（0，b），a≠0，根據

CA

⊥

CB

，得出∠ACB=90°，于是a²=2b，再結合M在y軸上，及題中向量關系得出M是BC的中點，x，y的關系式即為B的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設滿足條件的直線l的方程，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量關系式即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）設B（x，y），C（a，0），M（0，b），a≠0，∵

CA

⊥

CB

，即∠ACB=90°∴

2

a

•

b

-a

=-1，
于是a²=2b①M在y軸上，且

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，∴M是BC的中點，可得

a+x 2 =0 y+0 2 =b

∴

a=-x b= y 2

②
把②代入①得y=x²（x≠0），所以B的軌跡E的方程為y=x²（x≠0）（6分）
（Ⅱ）點F(0，-

1

4

)，設滿足條件的直線l的方程為y=kx-

1

4

，H（x₁，y₁），G（x₂，y₂）
由

y=kx- 1 4 y=x2

得x2-kx+

1

4

=0，△=k²-1＞0，∴k²＞1，
∵

FH

=

1

2

HG

，
∴(x1，y1+

1

4

)=

1

2

(x2-x1，y1-y2)，
∴x1=

1

2

x2-

1

2

x1，
∴3x₁=x₂，
∵x₁+x₂=k，x1x2=

1

4

，
∴k=±

2 3

3

（13分）
直線l的斜率：k=±

2 3

3

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，提高解題能力和解題時技巧，注意合理地進行等價轉化．