Question

已知函數(shù)y=loga(x2-3x+3)，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)有最大值1，則a=

3或

3

4

．

Answer 1

分析：由x²-3x+3＞0可得函數(shù)定義域：R．令tx²-3x+3，求出對(duì)稱軸，由函數(shù)在x∈[1，3]時(shí)有最大值1，分0＜a＜1，a＞1兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值求出a．

解答：解：由x²-3x+3＞0推出 定義域：R．
令t=x²-3x+3=（x-

3

2

）²+

3

4

，∴x=

3

2

是函數(shù)的對(duì)稱軸方程，t在[1，

3

2

），（

3

2

，3]，都是上單調(diào)函數(shù)，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在[1，

3

2

）上單調(diào)遞增，在（

3

2

，3]，上單調(diào)遞減；
 x=

3

2

時(shí)函數(shù)取得最大值1，即1=loga

3

4

，∴a=

3

4

．
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在（

3

2

，3]，上單調(diào)遞增，在[1，

3

2

）上單調(diào)遞減．函數(shù)的最大值在x=1或x=3處取得，
x=1時(shí)，y=loga(12-3×1+3)=0，不滿足題意；
x=3時(shí)，y=loga(32-3×3+3)=1，解得a=3，滿足題意．
故a的值為：3或

3

4

．
故答案為：3或

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，注意對(duì)對(duì)數(shù)底數(shù)的討論，解答本題時(shí)容易漏掉對(duì)對(duì)數(shù)真數(shù)的考慮是解題中最易出現(xiàn)的錯(cuò)誤．