Question

【題目】已知函數.

（1）試確定的取值范圍，使得函數在上為單調函數；

（2）若為自然數，則當取哪些值時，方程在上有三個不相等的實數根，并求出相應的實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，根據導函數零點確定函數單調區間，再根據為某個單調區間的子集得的取值范圍，（2）結合三次函數圖像確定的取值范圍：當,且時，方程在上有可能有三個不等實根，再根據端點值大小確定實數的滿足的條件： ，最后解不等式可得實數的取值范圍.

試題解析：（1）因為，

由或,由，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

欲使在上為單調函數，則.

（2）由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減，

故當或時，方程在上不可能有三個不等實根，

所以,且.

當,且時，方程在上有三個不等實根，

只需滿足即可.

因為，且，

因而，

所以，即，

綜上所述，當,且時，滿足題意，此時實數的取值范圍是.