Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\frac{b-2a}{c}$=$\frac{{cos（{A+C}）}}{cosC}$．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC面積最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得sinA=2sinAcosC，結合sinA≠0，可得$cosC=\frac{1}{2}$，即可得解C的值．
（2）利用已知及余弦定理，基本不等式可得ab≤4，進而根據三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵$\frac{b-2a}{c}$=$\frac{{cos（{A+C}）}}{cosC}$．
∴$\frac{sinB-2sinA}{sinC}=\frac{{cos（{A+C}）}}{cosC}=-\frac{cosB}{cosC}$，
∴sinBcosC-2sinAcosC=-cosBsinC，
∴sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴$cosC=\frac{1}{2}$，
∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）∵$cosC=\frac{1}{2}=\frac{{{a^2}+{b^2}-4}}{2ab}≥\frac{2ab-4}{2ab}$，可得：ab≤4，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\sqrt{3}$，即：△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$，但且僅當△ABC為等邊三角形時成立．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．