Question

設數列{a_n}具有以下性質：①a₁=1；②當n∈N^*時，a_n≤a_n+1．
（Ⅰ）請給出一個具有這種性質的數列，使得不等式對于任意的n∈N^*都成立，并對你給出的結果進行驗證（或證明）；
（Ⅱ）若，其中n∈N^*，且記數列{b_n}的前n項和B_n，證明：0≤B_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（I）令，則無窮數列{a_n}可由a₁=1，a_n+1=3^n-1a_n²（n≥1）給出，顯然，該數列滿足a₁=1，a_n≤a_n+1（n∈N^*），利用等比數列求和也滿足條件；
（II）根據a_n≤a_n+1可得，∴b_n≥0，則B_n=b₁+b₂+…+b_n≥0，將轉化成
，然后疊加可得結論．
解答：（Ⅰ）解：令，
則無窮數列{a_n}可由a₁=1，a_n+1=3^n-1a_n²（n≥1）給出．
顯然，該數列滿足a₁=1，a_n≤a_n+1（n∈N^*），
且------------------（6分）
（Ⅱ）證明∵，∴b_n≥0．
∴B_n=b₁+b₂+…+b_n≥0．-------------------------（8分）
又
=
=．
∴．
∴0≤B_n＜2．--------------------------------（14分）
點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合，以及數列的函數特性和求和，同時考查了轉化的思想和計算能力，屬于中檔題．