Question

已知函數f(x)=2

x

+

4-x

，則函數f（x）的值域為

[2，2

5

]

．

Answer 1

分析：先求函數的定義域，利用換元法將函數轉換為三角函數，利用三角函數的性質求函數的值域．

解答：解：要使函數有意義，則

x≥0 4-x≥0

，即0≤x≤4，即函數的定義域為[0，4]．
設x=4sin2θ，0≤θ≤

π

2

，
試題原函數等價為y=2

4sin2θ

+

4-4sin2θ

=4sinθ+2cosθ=2

5

(

2

5

sinθ+

1

5

cosθ)=2

5

sin(θ+α)，
所以函數的最大值為2

5

．
當x=0時，函數有最小值y=

4

=2，
所以函數f（x）的值域為[2，2

5

]．
故答案為：[2，2

5

]．

點評：本題主要考查函數值域的求法，利用三角換元法是解決本題的關鍵．