Question

已知數列{a_n}滿足a₁=2，10a _n+1﹣9a_n﹣1=0， ．
（1）求證：數列{a_n﹣1}是等比數列；
（2）當n取何值時，b_n取最大值；
（3）若 對任意m∈N*恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：∵a₁₀a_n+1﹣9a_n﹣1=0，
∴ ．
∴ ，
∵a₁=2，
∴{a_n﹣1}是以a₁﹣1=1為首項，公比為 的等比數列．
（2）解：由（ 1），可知a_n﹣1= （n∈N*）． ∴ ， ．當n=7時， ，b₈=b₇；
當n＜7時， ，b_n+1＞b_n；
當n＞7時， ，b_n+1＜b_n．
∴當n=7或n=8時，b_n取最大值，最大值為 ．
（3）解：由 ，得 ．（*）
依題意，（*）式對任意m∈N*恒成立，
①當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．
②當t＜0時，由 ，可知t^m＜0（m∈N*），而當m是偶數時t^m＞0，因此t＜0不合題意．
③當t＞0時，由t^m＞0（m∈N*），
∴ ，∴ （m∈N*）．
設 （m∈N*）， ∵ = ，
∴h（1）＞h（2）＞…＞h（m﹣1）＞h（m）＞…．
∴h（m）的最大值為 ．
所以實數t的取值范圍是 ．