Question

在銳角△ABC中，

3

sinA=cosA+1
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）求cos2B+4cosAsinB的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知等式變形后，利用兩角和與差的正弦函數公式求出sin（A-

π

6

）的值，根據A的范圍求出A的度數即可；
（2）由A的度數求出cosA的值，所求式子利用二倍角的正弦函數公式化簡，將cosA的值代入再利用二次函數的性質即可求出范圍．

解答：解：（1）由題意：

3

sinA-cosA=2sin（A-

π

6

）=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜

π

2

，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

π

3

，
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

；
（2）由（1）知：cosA=

1

2

，
∴cos2B+4cosAsinB=1-2sin²B+2sinB=-2（sinB-

1

2

）²+

3

2

，
∵△ABC為銳角三角形．
∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B＜

π

2

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

，
∴

1

2

＜sinB＜1，
∴1＜cos2B+2sinB＜

3

2

，
則cos2B+4cosAsinB的取值范圍為（1，

3

2

）．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，二次函數的性質，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．