Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）的右焦點為F1（1，0），離心率為e．設A，B為橢圓上關于原點對稱的兩點，AF1的中點為M，BF1的中點為N，原點O在以線段MN為直徑的圓上．若直線AB的傾斜角α∈（0， ），則e的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ ﹣1，1）
【解析】解：由橢圓 =1（a＞b＞0）的焦點在x軸上，記線段MN與x軸交點為C，由AF1的中點為M，BF1的中點為N，
∴MN∥AB，|F1C|=|CO|= ，
∵A、B為橢圓上關于原點對稱的兩點，
∴|CM|=|CN|．
∵原點O在以線段MN為直徑的圓上，
∴|CO|=|CM|=|CN|= ．
∴|OA|=|OB|=c=1．
∵|OA|＞b，
∴a2=b2+c2＜2c2 ，
∴e= ＞ ．
設A（x，y），
由 ，
解得： ．
AB的傾斜角α∈（0， ），
∴直線AB斜率為0＜k≤ ，
∴0＜ ≤3，
∴1﹣ ≤a2≤1+ ，
即為 ≤a≤ ，
∴e= = ∈[ ﹣1， +1]，
由于0＜e＜1，
∴離心率e的取值范圍為[ ﹣1，1）．
所以答案是：[ ﹣1，1）．