Question

【題目】如圖，已知等邊中，分別為邊的中點，為的中點，為邊上一點，且，將沿折到的位置，使平面平面EFCB.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）證明A'M⊥EF，推出A'M⊥平面EFCB，得到A'M⊥BF，證明BF⊥MN．得到BF⊥平面A'MN．然后證明平面A'MN⊥平面A'BF；

（2）設等邊的邊長為4，取中點，連接，由題設知，由（1）知平面，又平面，所以,如圖建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出．

試題解析：

（I）因為為等邊的邊的中點，所以是等邊三角形，且．因為是的中點，所以.

又由于平面平面,平面，所以平面

又平面，所以.

因為，所以，所以.

在正中知，所以.

而，所以平面.

又因為平面，所以平面平面.

（II）設等邊的邊長為4，取中點，

連接，由題設知，

由（I）知平面，又平面，所以,如圖建立空間直角坐標系，則,,,,.

設平面的一個法向量為，則由

得令，則.

平面的一個法向量為

所以，

顯然二面角是銳角，所以二面角的余弦值為.