Question

如圖所示，曲線段OMB是函數f（x）=x²（0＜x＜6）的圖象，BA⊥x軸于A，曲線段OMB上一點M（t，f（t））處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q，
（1）試用t表示切線PQ的方程；
（2）試用t表示△QAP的面積g（t），若函數g（t）在[m，n]上單調遞減，試求出m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，根據在M點的導數值為切線的斜率從而得到答案．
（2）先求出點PQ的坐標然后表示出函數g（t）的解析式，再對函數g（t）求導令其導函數小于0即可得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=2x，
∴k=2t，切線PQ的方程為
y-t²=2t（x-t），即2tx-y-t²=0．
（2）由（1）可求得P（

t

2

，0），Q（6，12t-t²），
∴g（t）=S_△QAP=

1

2

（6-

1

2

t）（12t-t²）=

1

4

t³-6t²+36t（0＜t＜6），
g′（t）=

3

4

t²-12t+36．令g′（t）＜0，得4＜t＜12．
考慮到0＜t＜6，∴4＜t＜6，即g（t）的單調減區間為（4，6）．∴m的最小值為4．

點評：本題主要考查導數的幾何意義和函數單調性與其導函數正負之間的關系．屬中檔題．