Question

（本小題滿分13分）

在一條筆直的工藝流水線上有個工作臺，將工藝流水線用如圖所示的數軸表示，各工作臺的坐標分別為，，，每個工作臺上有若干名工人．現要在與之間修建一個零件供應站，使得各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和最短．

（Ⅰ）若每個工作臺上只有一名工人，試確定供應站的位置；

（Ⅱ）設工作臺從左到右的人數依次為，，，試確定供應站的位置，并求所有工人到供應站的距離之和的最小值．

圖5

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）最小值為，

【解析】設供應站坐標為，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為．

（Ⅰ）由題設知，，所以

                      ……分

                           ．                                   ……分

故當時，取最小值，此時供應站的位置為．            ……分

（Ⅱ）由題設知，，所以各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為

                   ．       ……分

且                                         ……分

因此，函數在區間上是減函數，在區間上是常數．故供應站位置位于區間上任意一點時，均能使函數取得最小值，且最小值為，．   ……分