Question

（I）給定數(shù)列{c_n}，如果存在實(shí)常數(shù)p，q，使得c_n+1=pc_n+q對(duì)于任意n∈N*都成立，則稱數(shù)列{c_n}是“M類數(shù)列”．
（i）若，數(shù)列{a_n}是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p，q，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ii）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為是“M類數(shù)列”．
（Ⅱ）若數(shù)列前2013項(xiàng)的和．

Answer 1

解：（Ⅰ）（i）∵，
∴=2×a_n=2a_n+0，
∴p=2，q=0
∴數(shù)列{a_n}是“M”數(shù)列．
（ii）當(dāng)n=1時(shí)，=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n．
上式對(duì)于n=1時(shí)也成立，
∴b_n=2n（n∈N^*）．
∴b_n+1=2（n+1）=2n+2=b_n+2．
∴數(shù)列{b_n}是“M”數(shù)列，且p=1，q=2．
（Ⅱ）∵（n∈N^*），∴，，…．
S₂₀₁₃=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=2+2²+2⁴+…+2²⁰¹²==．
故數(shù)列{a_n}前2013項(xiàng)的和S₂₀₁₃=．
分析：（Ⅰ）（i）由a_n的表達(dá)式即可得出a_n+1的表達(dá)式，再利用“M”數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可．
（ii）利用先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用“M”數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可．
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{a_n}滿足的條件：a₁=2，，分別令n=2，4，…2012．將以上這些式子相加即可得出S₂₀₁₃．
點(diǎn)評(píng)：理解“M”數(shù)列的定義及充分利用已知條件和數(shù)列求和的公式與方法是解題的關(guān)鍵．