Question

在直角坐標系xOy中，已知點A（-2，0），，C（2cosθ，sinθ），其中．
（1）若，求tanθ的值；
（2）設點D（1，0），求的最大值；
（3）設點E（a，0），a∈R，將表示成θ的函數，記其最小值為f（a），求f（a）的表達式，并求f（a）的最大值．

Answer 1

解：（1）由已知，得，，…（2分）
因為，所以，．…（3分）
（2）由已知，，，…（5分）
又，…（6分）
所以，當θ=0時，取得最大值，最大值為4．…（8分）
（3）由已知，，
所以，，
設t=cosθ，…（10分）
當，即時，f（a）=2a-4，
當，即時，f（a）=-1，
所以，…（12分）
因為當時，，當時，f（a）=-1，
所以f（a）的最大值為-1．…（14分）
分析：（1）由已知中A（-2，0），，C（2cosθ，sinθ），我們可以計算出向量的坐標，進而由，我們可以構造一個三角方程，利用同角三角函數關系，即可求出tanθ的值；
（2）由D的坐標，我們可以進而求出向量的坐標，根據向量數量積的運算公式，我們可以給出的表達式，然后根據余弦型函數的性質，及求出其最大值．
（3）由點E的坐標，我們可以求出向量的坐標，根據向量數量積的運算公式，我們可以將表示成θ的函數，利用換元法，將其轉化為二次函數在定區間上的最值問題后，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是三角函數中的恒等變換應用，平面向量的綜合題，熟練掌握平面向量平行的充要條件，平面向量數量積的運算公式，是解答本題的關鍵．