Question

一個容器的蓋子用一個正四棱臺和一個球焊接而成，球的半徑為R，正四棱臺的上、下底面邊長分別為2.5R和3R，斜高為0.6R
（1）求這個容器蓋子的表面積（用R表示，焊接處對面積的影響忽略不記）；
（2）若R=2cm，為蓋子涂色時所用的涂料每0.4kg可以涂1m²，計算100個這樣的蓋子約需涂料多少kg（精確到0.1kg）

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中一個容器的蓋子用一個正四棱臺和一個球焊接而成，球的半徑為R，正四棱臺的上、下底面邊長分別為2.5R和3R，斜高為0.6R，我們分別將已知中的數據代入球的表面積公式和棱臺的表面積公式，即可求出答案．
（2）由（1）的結論，我們將R=2cm，代入可計算出每個蓋子的表面積，進而求出100個蓋子的面積后，根據為蓋子涂色時所用的涂料每0.4kg可以涂1m²，即可求出需涂料的重量．
解答：解：（1）∵球的半徑為R
∴球的表面積為4πR²
又∵四棱臺的上、下底面邊長分別為2.5R和3R，
則四棱臺的上、下底面積分別為6.25R²和9R²
又由正四棱臺的斜高為0.6R
則四棱臺的側面積為4××（2.5R+3R）×0.6R=6.6R²
∴容器蓋子的表面積S=（21.85+4π）R²
（2）由（1）得
S=（21.85+4π）R²
R=2cm時，S=（87.4+16π）cm²
100個這樣的蓋子約需涂料為（87.4+16π）×100÷10000×0.4kg≈0.6kg
點評：本題考查的知識點是棱臺的表面積和球的表面積，其中根據已知條件結論空間幾何體的表面積公式求出幾何體的表面積是解答本題的關鍵．