Question

【題目】設函數f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．
（1）當a=1時，求函數f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥ +1對任意的實數x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．

所以函數f（x）的最小值為4

（2）解： 對任意的實數x恒成立|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+ 對任意的實數x恒成立a+ ≤4對任意實數x恒成立．

當a＜0時，上式顯然成立；

當a＞0時，a+ ≥2 =4，當且僅當a= 即a=2時上式取等號，此時a+ ≤4成立．

綜上，實數a的取值范圍為（﹣∞，0）∪{2}

【解析】（1）當a=1時，利用絕對值不等式的性質即可求得最小值；（2） |x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+ a+ ≤4，對a進行分類討論可求a的取值范圍．