Question

如圖所示，ABCD是一個矩形花壇，其中AB=6米，AD=4米．現將矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，對角線MN過C點，且矩形AMPN的面積小于150平方米．
（1）設AN長為x米，矩形AMPN的面積為S平方米，試用解析式將S表示成x的函數，并寫出該函數的定義域；
（2）當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求最小面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意設出AN的長為x米，因為三角形DNC相似于三角形ANM，則對應線段成比例可知AM，由此能用解析式將S表示成x的函數，并求出該函數的定義域．
（2）利用a+b≥2，當且僅當a=b時取等號的方法求出S的最小值即可；
解答：解：（1）設AN的長為x米（x＞4）
由題意可知：∵=，∴=，
∴|AM|=，
∴S_AMPN=|AN|•|AM|=，
由S_AMPN＜150，得＜150，（x＞4），
∴4＜x＜25，
∴S=．定義域為4＜x＜25．
（2）∵S==
=6（x-4）++4≥2+4=8+4（10分）
當且僅當6（x-4）=，即x=4+時，取“=”號
即AN的長為4+米，矩形AMPN的面積最小，最小為80+4米．
點評：本題考查根據題設關系列出函數關系式，并求出處變量的取值范圍；考查利用基本不等式求最值，解題的關鍵是確定矩形的面積．