Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，FA⊥平面ABCD，EF∥BC，FA=2，AD=3，∠ADE=45°，點G是FA的中點．
（1）求證：EG⊥平面CDE；
（2）求二面角B-CE-G的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質，及FA⊥平面ABCD，可得AF⊥CD，CD⊥AD，結合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面ADEF，則CD⊥EG，由FA=2，AD=3，∠ADE=45°，可證得EG⊥DE，進而再由線面垂直的判定定理得到EG⊥平面CDE；
（2）以AB、AD、AF為x、y、z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面BDE與平面CEG的法向量，代入向量夾角公式即可得到答案．

解答：證明：（1）∵EF∥BC，AD∥BC，∴EF∥AD．
在四邊形ADEF中，由FA=2，AD=3，∠ADE=45°，可證得EG⊥DE，
又由FA⊥平面ABCD，得AF⊥CD，
∵正方形ABCD中CD⊥AD，∴CD⊥平面ADEF，
∵EG?平面ADEF，∴CD⊥EG，
∵CD∩DE=D，∴EG⊥平面CDE；…（6分）
（2）以AB、AD、AF為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則B（3，0，0）、C（3，3，0）、E（0，1，2）、G（0，1，1）．

BC

=(0，3，0)、

EC

=(3，2，-2)、

GF

=(0，1，1)，
分別求得平面BCE與平面CEG的一個法向量

m

=(2，0，3)，

n

=(4，-3，3)，
向量

m

與

n

的夾角的余弦值為

8+9

442

=

442

26

∴二面角B-CE-G的余弦值為

442

26

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵，是證得CD⊥EG，EG⊥DE，（2）的關鍵是建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題．