Question

（2006•宣武區一模）將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折起，使二面角A-BD-C為60°，有如下四個結論：以上結論正確的為

①②

．（寫出所有正確結論的序號）
①AC⊥BD；
②點A到平面BCD的距離為

6

2

；
③AB與平面BCD成60°的角；
④平面ABC⊥平面ACD．

Answer 1

分析：對于①，利用線面垂直的判定定理，結合正方形的性質證出BD⊥平面ACO，從而AC⊥BD，故①正確；對于②，根據面面垂直判定得出平面ACO⊥平面BCD，因此作AE⊥AO于E，得AE⊥平面BCD，所以AE就是A到平面BCD的距離，然后在正△AOC中利用題中數據，算出AE的長，得②正確；對于③，連結BE，由前面的結論得到∠ABE就是AB與平面BCD所成的角，利用三角函數的定義算出sin∠ABE≠

3

2

，從而得到③不正確；對于④，根據面面垂直的性質定理和線面垂直的判定定理，采用反證法加以證明可得平面ABC與平面ACD不垂直，從而得④不正確．由此可得本題答案．

解答：解：設正方形的對角線交于點O
對于①，因為折疊后滿足BD⊥AO且BD⊥CO，結合AO∩C0=0
可得BD⊥平面ACO，從而得到AC⊥BD，故①正確；
對于②，由BD⊥平面ACO且BD?平面BCD，得平面ACO⊥平面BCD
因此作AE⊥AO于E點，可得AE⊥平面BCD，
所以AE就是A到平面BCD的距離
∵∠AOC=60°，就是二面角A-BD-C的平面角
∴△AOC為正三角形，其邊長等于

2

2

AB=

2

，因此AE=

3

2

AO=

6

2

，可得②正確；
對于③，連結BE，由②的結論得到∠ABE就是AB與平面BCD所成的角
∵Rt△ABE中，AE=

6

2

，AB=2，∴sin∠ABE=

AE

AB

=

6

4

，
因此AB與平面BCD不成60°的角，故③不正確；
對于④，用反證法
設平面ABC⊥平面ACD，過D作DF⊥AC于點F，
由面面垂直的性質定理，得到DF⊥平面ABC，從而得到DF⊥BC
又∵CD⊥BC，DF∩CD=D，∴BC⊥平面ACD
∵AC?平面ACD，∴BC⊥AC，得∠ACB=90°
而∠ACB為等腰△ABC的底角，故∠ACB=90°是不可能的
因此假設不成立，從而得到平面ABC與平面ACD不垂直
綜上所述，正確的選項為①②
故答案為：①②

點評：本題給出正方形沿對角線折疊，判定線面、面面位置關系和空間距離的幾個結論是否正確．著重考查了二面角的平面角的定義、線面垂直的判定與性質、面面垂直判定定理和直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．