Question

已知函數f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜），且y=f（x）的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點（1，2）．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）計算f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據最值求出A，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，求出周期，確定ω，過點（1，2）求ϕ；
（Ⅱ）法一：根據函數的正確化簡f（1）+f（2）+…+f（2008）．然后求出它的值即可．
法二：利用三角函數的平方關系，求出一個周期內的f（1）+f（3），f（2）+f（4）的值，然后求出表達式的值．
解答：解：（I）．
∵y=f（x）的最大值為2，A＞0．
∴．
又∵其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，ω＞0，
∴．
∴．
∵y=f（x）過（1，2）點，∴．
∴，∴，
∴，
又∵，
∴．

（II）解法一：∵，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．
又∵y=f（x）的周期為4，2008=4×502，
∴f（1）+f（2）++f（2008）=4×502=2008．
解法二：∵
∴，，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4．
又（±2，0）的周期為4，2008=4×502，
∴f（1）+f（2）++f（2008）=4×502=2008．
點評：本題考查三角函數的最值，三角函數的周期性及其求法，y=Asin（ωx+φ）中參數的物理意義，通過題目條件，正確求出函數的表達式，挖掘條件，利用周期正確解答是解好三角函數題目的關鍵，本題考查計算能力，是基礎題．