Question

在對數函數y=log₂x的圖象上，有A、B、C三點，它們的橫坐標依次為a，a+1，a+2，其中a≥1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：由題意可先表示三角形ABC的面積S=SAA′B′B+SBB′C′ C-SAA′C′C=

log2a+log2(a+1)

2

+

log2(a+1)-log2(a+2)

2

-

log2a+log2(a+2)

2

×2=

1

2

log2(1+

1

a2+2a

)，結合a≥1可求a²+2a=（a+1）²-1的范圍，進而可求S的最大值

解答：解：∵橫坐標為a，a+1，a+2（a≥1），對應的縱坐標就要逐漸增大
分別過ABC作AA′，BB′，CC′與x軸垂直，垂足分別為A′，B′，C′
三角形ABC，的面積S=SAA′B′B+SBB′C′ C-SAA′C′C
=

log2a+log2(a+1)

2

+

log2(a+1)-log2(a+2)

2

-

log2a+log2(a+2)

2

×2（5分）
=

1

2

log2

a(a+2)(a+1)2

[a(a+2)]2

=

1

2

log2

(a+1)2

a(a+2)

=

1

2

log2

a2+2a+1

a2+2a

=

1

2

log2(1+

1

a2+2a

)
∵a≥1
∴a²+2a=（a+1）²-1≥3
∴0＜

1

a2+2a

≤

1

3

，1＜1+

1

a2+2a

≤

4

3

Smax=

1

2

log2

4

3

（12分）

點評：本題主要考查了利用分割求解圖象的面積，對數運算性質的應用及利用二次函數的性質求解函數的最大值，屬于知識的簡單綜合