Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓C：的短軸長為，且斜率為的直線過橢圓C的焦點及點。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知一直線過橢圓C的左焦點，交橢圓于點P、Q，

（ⅰ）若滿足（為坐標原點），求的面積；

（ⅱ）若直線與兩坐標軸都不垂直，點M在軸上，且使為的一條角平分線，則稱點M為橢圓C的“左特征點”，求橢圓C的左特征點。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓C的方程為；

（Ⅱ）（ⅰ），

（ⅱ）橢圓C的左特征點為．

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用，三角形面積的求解的綜合運用。

（1）由題意可知，直線的方程為，………………………1分

∵直線過橢圓C的焦點，∴該焦點坐標為∴,

結合短軸長，得到a,b,c的值，得到橢圓的方程。

（2）因為，借助于正弦面積公式求解得到結論。

（3）設直線PQ的方程為，直線與橢圓聯立方程組，借助于得到參數的關系式，進而得到特征點。

解：（Ⅰ）由題意可知，直線的方程為，………………………1分

∵直線過橢圓C的焦點，∴該焦點坐標為∴,

又橢圓C的短軸長為，∴，∴，

∴橢圓C的方程為；…………………………………………………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）∵，

∴，……………5分

∴，……………………………6分

（ⅱ）設左特征點，左焦點為，可設直線PQ的方程為，

由消去得，

設則，…………………8分

∵為的一條角平分線，

∴，即，………………………………………9分

又，，代入上式可得

∴，

解得，……………………………………………………………………………11分

∴橢圓C的左特征點為．………………………………………………………12分