Question

若函數f(x)=

1+cos2x

2sin( π 2 -x)

+sinx+a2sin(x+

π

4

)的最大值為

2

+3，試確定常數a的值．

Answer 1

分析：由三角恒等變換公式對函數表達式進行化簡，可以化為f（x）=(

2

+a2)sin(x+

π

4

)，由函數的最大值為

2

+3，結合三角函數的有界性可得

2

+a2=

2

+3，由此解a的值即可．

解答：解：f(x)=

1+2cos2x-1

2sin( π 2 -x)

+sinx+a2sin(x+

π

4

)
=

2cos2x

2cosx

+sinx+a2sin(x+

π

4

)=sinx+cosx+a2sin(x+

π

4

)
=

2

sin(x+

π

4

)+a2sin(x+

π

4

)=(

2

+a2)sin(x+

π

4

)
因為f（x）的最大值為

2

+3，則

2

+a2=

2

+3，
所以a=±

3

，
故常數a的值是±

3

點評：本題考點是三角函數的最值，考查由三角恒等式化簡將函數變為y=Asin（ωx+φ）+B的形式，用三角函數的有界性確定最大值在何處取到，是多少，由此建立關于參數的方程求參數．