Question

20、在經濟學中，函數f（x）的邊際函數為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某服裝公司每天最多生產100件．生產x（x≥1）件的收入函數為R（x）=300x-2x²（單位元），其成本函數為C（x）=50x+300（單位元），利潤等于收入與成本之差．
（1）求出利潤函數p（x）及其邊際利潤函數Mp（x）；
（2）分別求利潤函數p（x）及其邊際利潤函數Mp（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利潤函數p（x）=收入函數R（x）-成本函數C（x），邊際利潤函數Mp（x）=p（x+1）-p（x），代入計算即可；
（2）由利潤函數p（x）是二次函數，故可以求出函數p（x）的最大值p（x）_max；邊際利潤函數為Mp（x）是一次函數，也可以求出其最大值．

解答：解：（1）利潤函數p（x）=R（x）-C（x）=-2x²+250x-300，x∈[1，100]，x∈N；
邊際利潤函數Mp（x）=p（x+1）-p（x）=[-2（x+1）²+250（x+1）-300]-（-2x²+250x-300）=248-4x，x∈[1，100]，x∈N．
（2）由利潤函數p（x）=-2x²+250x-300=-2（x-62.5）²+7512.5，x∈[1，100]，x∈N，故當x=62或63時，
有最大值p（x）_max=7512（元）；
因為Mp（x）=248-4x為減函數，故當x=1時有最大值244．

點評：本題考查了利潤函數模型的應用，本題中利潤函數是二次函數，利用配方法或圖象的對稱軸，都可以得出函數的最大值，需要注意自變量的取值是正整數．