Question

由函數確定數列，，函數的反函數能確定數列，，若對于任意，都有，則稱數列是數列的“自反數列”。

(1)若函數確定數列的自反數列為，求的通項公式；

(2)在(1)條件下，記為正數數列的調和平均數，若，

為數列的前項和，為數列的調和平均數，求；

(3)已知正數數列的前項之和。求的表達式。

Answer 1

解  (1) 由題意的：f ^–1(x)== f(x)=，所以p = –1，所以a_n=

(2)  a_n=，d_n==n，

S_n為數列{d_n}的前n項和，S_n=，又H_n為數列{S_n}的調和平均數，

H_n===   ==

(3) 因為正數數列{c_n}的前n項之和T_n=(c_n+)，

所以c₁=(c₁+)，解之得：c₁=1，T₁=1

當n≥2時，c_n = T_n–T_n–1，所以2T_n = T_n–T_n–1 +，

T_n +T_n–1 = ，即：= n，

所以，= n–1，= n–2，……，=2，累加得：

=2+3+4+……+ n，      =1+2+3+4+……+ n =，T_n=