Question

一般地，如果函數f（x）的圖象關于點（a，b）對稱，那么對定義域內的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數的定義域為R，其圖象關于點對稱．
（1）求常數m的值；
（2）解方程：；
（3）求證：（n∈N⁺）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數的圖象關于點對稱，可得f（x）+f（1-x）=1，代入化簡，可得結論；
（2）由（1）知，，代入化簡方程，可求方程的解；
（3）利用f（x）+f（1-x）=1，倒序相加，可得結論．
解答：（1）解：∵函數的圖象關于點對稱，∴f（x）+f（1-x）=1
∴+=1
∴+=1，∴m=2；
（2）解：由（1）知，
∵
∴
∴[]²--2=0
∴=2或
∴x=；
（3）證明：設可寫成 
兩式相加，∵f（x）+f（1-x）=1
∴，所以．
點評：本題考查函數的對稱性，考查對數方程，考查等式的證明，正確運用函數的對稱性是關鍵．