Question

已知等比數列的{a_n}前n項和An=(

1

3

)n-1(n∈N*)，數列{b_n}（b_n＞0）的首項為1，且前n項和B_n滿足

Bn

-

Bn-1

=1(n≥2，n∈N*)．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若數列{

1

bnbn+1

}前n項和為T_n，問滿足Tn＞

1000

2009

的最小正整數n是多少？

Answer 1

分析：（1）令n等于1代入等比數列的{a_n}前n項和中，即可求出首項a₁，然后利用a_n=A_n-A_n-1（n≥2）表示出a_n的通項公式，再結扎

Bn

-

Bn-1

=1(n≥2，n∈N*)，得出數列{

Bn

}是首項為

B1

=

b1

=1，公差為1的等差數列，因而可得出b_n的通項公式；
（2）由（1）可得 Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

，裂項求和即可求出滿足Tn＞

1000

2009

的最小正整數n．

解答：解：（1）a1=

1

3

-1=-

2

3

，an=An-An-1=(

1

3

)n-(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n(n≥2)
因為a₁適合an=-2(

1

3

)n(n≥2)，
所以an=-2(

1

3

)n(n∈N*)…（2分）
因為

Bn

-

Bn-1

=1(n≥2，n∈N*)，
所以數列{

Bn

}是首項為

B1

=

b1

=1，公差為1的等差數列．
從而 

Bn

=1+(n-1)•1=n，B_n=n²（n∈N^*）…（4分）
所以b_n=B_n-B_n-1=n²-（n-1）²=2n-1（n≥2），b₁=1也適合上式，故b_n=2n-1（n∈N^*）…（6分）
（2）由（1）得：Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（8分）
∴

n

2n+1

＞

1000

2009

，即9n＞1000，故最小正整數n=112…（10分）

點評：此題考查學生靈活運用等比數列的通項公式及前n項和的公式化簡求出，考查數列遞推式的求解及相關計算，考查數列求和，求解（2）的關鍵是根據其通項的形式將其項分為兩項的差，采用裂項求和的技巧求和．