Question

設x，y滿足約束條件

x+y≥3 x-y≥1 2x-y≤3

，若目標函數z=

x

a

+

y

b

(a＞0，b＞0)的最大值為10，則5a+4b的最小值為（　　）

• A．

  13+4 10

  10

• B．

  14+4 10

  10

• C．10
• D．8

Answer 1

分析：畫出可行域，將目標函數變形，數形結合求出目標函數的最大值，得到a，b的關系，兩式相乘湊成利用基本不等式的條件，利用基本不等式求最值．

解答：解：畫出

x+y≥3 x-y≥1 2x-y≤3

的可行域
將z=

x

a

+

y

b

直線在y軸上的截距
∵a＞0，b＞0，則當截距越大，z也越大，結合圖象可知將其平移至點A時縱截距最大，z最大
由

x-y=1  y=2x-3

可得A（4，5）
將A（4，5）代入z=

x

a

+

y

b

得到z最大值

4

a

+

5

b

=10
∴5a+4b=

1

10

×(

4

a

+

5

b

)•（5a+4b）=

1

10

×（40+

16b

a

+

25a

b

）
≥

1

10

×（40+2•

16b a × 25a b

）=8
當且僅當

16b

a

=

25a

b

，又

4

a

+

5

b

=10
即a=

4

5

，b=1時取等號
故選D．

點評：本題考查線性規劃問題、畫出可行域、利用目標函數的幾何意義、數形結合求最值、利用基本不等式求最值．