Question

如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（1）求異面直線AE和BF所成的角的余弦值；
（2）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（3）若點P在正方形ABCD內部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

Answer 1

【答案】分析：因為是正方體，很容易建系，研究的問題主要是空間角，易用向量法求解，所以先建立空間直角坐標系．（1）分別求得A，E，B，F點的坐標，再求得相應向量的坐標，最后由向量的夾角公式求解．（2）設平面BDD₁與平面BFC₁的一個法向量，用數量積為零求得，然后，用這兩個法向量，利用向量的夾角公式求解．（3）設點P的坐標為：P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），則由得，從而建立∴二次函數模型求解最值．
解答：解：以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系
（1）A（1，0，0），，
B（1，1，0），，，
，；
故異面直線AE和BF所成的角的余弦值為．
（2）平面BDD₁的一個法向量為
設平面BFC₁的法向量為
∴
取z=1得平面BFC₁的一個法向量

∴所求的余弦值為；
（3）設，由得
即，0≤x≤1，∴0≤-2y+，解得
∴
∵∴當時，∴當時，∴．
點評：本題主要考查異面直線所成的角，二面角及兩點間的距離問題，同時，還考查了向量法和轉化思想，是常考類型，屬中檔題．