Question

對(duì)于二項(xiàng)式(

1

x

+x3)n的展開式（n∈N^*），四位同學(xué)作出了四種判斷：
①存在n∈N^*，展開式中有常數(shù)項(xiàng)；
②對(duì)任意n∈N^*，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；
③對(duì)任意n∈N^*，展開式中沒有x的一次項(xiàng)；
④存在n∈N^*，展開式中有x的一次項(xiàng)．
上述判斷中正確的是（　　）

• A、①與③
• B、②與③
• C、①與④
• D、②與④

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，1得到n滿足的條件，得到選項(xiàng)．

解答：解：(

1

x

+x3)n展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C_n^rx^4r-n（其中r=0，1，2，…n）
令4r-n=0得r=

n

4

故當(dāng)n是4的倍數(shù)時(shí)，展開式存在常數(shù)項(xiàng)
故①對(duì)②不對(duì)
令4r-n=1得r=

n+1

4

故當(dāng)n+1是4的整數(shù)倍時(shí)，展開式中有x的一次項(xiàng)，
故③不對(duì)④對(duì)
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．