Question

已知函數f（x）滿足f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+

1

2

x2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）利用導數的運算法則可得f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，令x=1得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得f（0）．
令x=0，得f′（1）=e，即可得到f（x）．
（II）設g（x）=f′（x）=e^x-1+x，則g′（x）=e^x+1＞0，可得f′（x）在R上單調遞增．進而得到f（x）的單調性．

解答：解：（I）f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
令x=1得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得f（0）=1．
∴f(x)=f′(1)ex-1-x+

1

2

x2．
令x=0，得f′（1）=e，
∴f(x)=ex-x+

1

2

x2．
（II）設g（x）=f′（x）=e^x-1+x，
則g′（x）=e^x+1＞0，∴f′（x）在R上單調遞增．
而f′（0）=0，∴當x＞0時，f′（x）＞0；當x＜0時，f′（x）＜0．
因此f（x）在區間（-∞，0）上單調遞減；在區間（0，+∞）單調遞增．

點評：熟練掌握利用導數研究函數得到單調性是解題的關鍵．