Question

定義域為R的函數y=f（x）滿足：
①f(x+

π

2

)=-f(x)；
②函數在[

π

12

，

7π

12

]的值域為[m，2]，并且?x1，x2∈[

π

12

，

7π

12

]，當x₁＜x₂時恒有f（x₁）＜f（x₂）．
（1）求m的值；
（2）若f(

π

3

+x)=-f(

π

3

-x)，并且f(

π

4

sinx+

π

3

)＞0求滿足條件的x的集合；
（3）設y=g（x）=2cos²x+sinx+m+2，若對于y在集合M中的每一個值，x在區間（0，π）上恰有兩個不同的值與之對應，求集合M．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的周期性，然后求出函數的單調性，結合條件f(x+

π

2

)=-f(x)可求出m；
（2）根據條件可知函數f（x）的圖象關于點（

π

3

，0）對稱，然后根據f(

π

4

sinx+

π

3

)＞0和

π

4

sinx+

π

3

的自身的范圍即可求出滿足條件的x的集合；
（3）若對于y在集合M中的每一個值，x在區間（0，π）上恰有兩個不同的值與之對應轉化成h（t）=-2t²+t+2-y=0在（0，1）上只有一解，只需h（1）•h（0）＜0即可求出集合M．

解答：解：（1）∵f(x+

π

2

)=-f(x)；∴f（x+π）=f（x），f（x）是以T=π的周期函數
而函數在[

π

12

，

7π

12

]的值域為[m，2]，并且?x1，x2∈[

π

12

，

7π

12

]，當x₁＜x₂時恒有f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數f（x）在[

π

12

，

7π

12

]上單調遞增，而f(x+

π

2

)=-f(x)，∴m=-2
（2）∵f(

π

3

+x)=-f(

π

3

-x)，∴f（x）的圖象關于點（

π

3

，0）對稱
∵f(

π

4

sinx+

π

3

)＞0
∴

π

3

+kπ＜

π

4

sinx+

π

3

＜

5π

6

+kπ，而

π

12

≤

π

4

sinx+

π

3

≤

7π

12

則

π

3

＜

π

4

sinx+

π

3

≤

7π

12

∴0＜sinx≤1即滿足條件的x的集合為{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
（3）∵y=g（x）=2cos²x+sinx
∴y=g（x）=-2sin²x+sinx+2
令sinx=t∈（0，1）則y=-2t²+t+2
若對于y在集合M中的每一個值，x在區間（0，π）上恰有兩個不同的值與之對應轉化成h（t）=-2t²+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
∴h（1）•h（0）=（1-y）（2-y）＜0
解得1＜y＜2
∴集合M={y|1＜y＜2}．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用和三角不等式的解法，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．