Question

（2006•上海模擬）已知x∈R，z∈C，x²+zx+3z+4i=0
（1）若Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第一象限，求x的范圍
（2）是否存在這樣的x，使得z=

2006

-

2005

i成立．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)z=a+bi（a∈R，b∈R）然后代入x²+zx+3z+4i=0中再根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可求出a，b再根據(jù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第一象限即a＞0，b＞0即可求出x的范圍．
（2）可假設(shè)存在這樣的x，使得z=

2006

-

2005

i成立則可將z代入x²+zx+3z+4i=0再根據(jù)復(fù)數(shù)的相等得出x滿足的關(guān)系式再根據(jù)其關(guān)系判斷是否能求出x若能求出則假設(shè)成立否則假設(shè)錯(cuò)誤即不存在滿足條件的x．

解答：解：（1）根據(jù)題意設(shè)z=a+bi（a∈R，b∈R）
∵x∈R，z∈C，x²+zx+3z+4i=0
∴x²+ax+3a+（bx+3b+4）i=0
∴x²+ax+3a=0且bx+3b+4=0
∴a=-

x2

x+3

，b=-

4

x+3

∵Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第一象限
∴a＞0，b＞0
∴-

x2

x+3

＞0，b=-

4

x+3

＞0
∴x∈（-∞，3）
（2）假設(shè)存在這樣的x，使得z=

2006

-

2005

i成立由（1）可得

2006

=-

x2

x+3

，-

2005

=-

4

x+3

∴-

2006

2005

= 

x2

4

這是不可能的
∴假設(shè)錯(cuò)誤即即不存在滿足條件的x使得z=

2006

-

2005

i成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考差了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示即其幾何意義．解題的關(guān)鍵是第一問(wèn)要將復(fù)數(shù)z設(shè)出來(lái)再根據(jù)復(fù)數(shù)的相等求出a，b再利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得a＞0，b＞0就可求出x的范圍．而第二問(wèn)關(guān)鍵是在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上得出得

2006

=-

x2

x+3

，-

2005

=-

4

x+3

只需將倆式相除即可得出矛盾而不需直接解方程！